Traitement des données numériques

Version du 10 avril 2005

Philippe Cibois

Chapitre 1 Médiane, quartiles, boite à moustache

Chapitre 2 : écart-type

Chapitre 1 Médiane, quartiles, boite à moustache

Médiane

Soit la distribution des tailles en cm des étudiants entrés en première année de licence en 2004 :

Taille et effectif de chaque taille

Taille 151 152 155 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

Effec. 1 1 6 1 4 3 15 3 10 11 6 7 2 4 7

Taille 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183

Effec. 6 14 1 4 1 1 4 1 1 3 4 12 1 7 3

Taille 184 185 186 187 188 189 190 206

Effec. 3 4 1 3 1 1 3 1

On cherche une valeur centrale autre que la moyenne (qui est très sensible aux valeurs exceptionnelles). On cherche l'individu qui se trouve au centre. On divise l'effectif par 2 : 161/2 = 80,5. L'individu central se trouve être après la première moitié des 80 individus, soit le 81^e, il laisse ensuite une deuxième moitié des individus de rang 82 à 161.

Le 81^e individu est dit individu médian. Pour connaitre sa taille, on cumule toutes les valeurs en commençant par la plus faible : à 151 on a 1 individu, à 152 compris on a en a 2, à 155 on en a 4 etc.

Cumul des effectifs pour une taille donnée à partir des plus faibles valeurs

Taille 151 152 155 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

Cumul 1 2 8 9 13 16 31 34 44 55 61 68 70 74 81

Taille 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183

Cumul 87 101 102 106 107 108 112 113 114 117 121 133 134 141 144

Taille 184 185 186 187 188 189 190 206

Cumul 147 151 152 155 156 157 160 161

A partir de cette liste détaillons la situation à partir de la taille 167, individu par individu :

Taille 167 168 168 168 168 168 168 168 169 169

Cumul 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

La taille de 168 est la valeur médiane, ou médiane, correspond à l'individu médian 81

Quartile

Dans les deux moitiés, on répète l'opération de la valeur centrale. L'effectif de 80/2=40, on a donc un premier quart (indiv 1 à 40), un 2^e quart (41 à 80), l'individu médian 81, un 3^e quart (82 à 121) un 4^e quart (122 à 161). La taille correspondant au passage du premier au 2^e quart s'appelle le premier quartile, et celle correspondant au passage entre le 3^e et le 4^e s'appelle troisième quartile (le 2^e quartile correspond à la médiane).

En examinant le cumul, on voit que à 161 on est au 34^e individu, et que du 35^e au 44^e on est à 162 : comme le 40^e et le 41^e qui sont dit l'intervalle correspondant au 1^er quartile et qu'ils ont même valeur, cette valeur de 161 sera celle du premier quartile.

Par contre pour le 3^e quartile, on voit que l'on change de valeur entre l'individu 121 qui est à 179 et l'individu 122 qui est à 180. Par convention le 3^e quartile vaudra la valeur intermédiaire de 179,5.

On a déjà un résumé de la situation

Premier quartile = 162

Médiane = 168

Troisième quartile = 179,5

L'écart entre la valeur du 3^e et celle du premier quartile est applelé Ecart Inter Quartiles (EIQ). Ici EIQ = 179,5 – 162 = 17,5 cm (puisque les tailles sont en cm).

On situe des valeurs frontières (qui ne sont dépassées qu'exceptionnellement) en prenant des valeurs qui sont une fois et demie l'écart inter quartiles à gauche de la valeur du premier et à droite de la valeur du troisième quartile soit 1,5 x EIQ

EIQ = 17,5 multipliée par 1,5 on a 17,5 x 1;5 = 26,25 3 cm

Valeur frontière à gauche (inf.) = 162 – 26,25 = 135,75

Valeur frontière à droite (sup.) = 179,5 + 26,25 = 205,75

Valeur frontière inférieure	Premier quartile	Médiane	Troisième quartile	Valeur frontière supérieure
135,75	162	168	179,5	205,75

On constate que la valeur la plus basse 151 cm n'atteint pas la valeur frontière inférieure et l'on retiendra cette valeur de 151 comme vraie frontière inférieure. Par contre, un individu avec une valeur de 206 dépasse la valeur supérieure. Dans la suite cet individu sera noté.

Boite à moustaches

On résume la distribution par un graphique à l'échelle où une boite (dont la hauteur n'est pas significative) va du premier au troisième quartile. Des "moustaches" en sortent qui vont à droite et à gauche jusqu'aux valeurs frontières observées. Si des individus dépassent ces valeurs frontières, ils sont indiqués comme points hors normes (une valeur à 206). On a donc le schéma suivant.

.

Cette boite à moustache résume graphiquement l'ensemble de la distribution. On y ajoute au centre la valeur de la moyenne de la distribution (170,0).

Le tableau suivant reprend les résultats pour l'ensemble puis par sexe. La colonne produit permet de calculer la moyenne (produit de la valeur par le nombre de cas)

Ens	n=	Cumul	prod	Masc	n=	cum	prod	Fémi	n	cum	prod
151	1	1	151	151	0	0	0	151	1	1	151
152	1	2	152	152	0	0	0	152	1	2	152
155	6	8	930	155	0	0	0	155	6	8	930
157	1	9	157	157	0	0	0	157	1	9	157
158	4	13	632	158	0	0	0	158	4	13	632
159	3	16	477	159	0	0	0	159	3	16	477
160	15	31	2400	160	0	0	0	160	15	31	2400
161	3	34	483	161	0	0	0	161	3	34	483
162	10	44	1620	162	0	0	0	162	10	44	1620
163	11	55	1793	163	0	0	0	163	11	55	1793
164	6	61	984	164	0	0	0	164	6	61	984
165	7	68	1155	165	0	0	0	165	7	68	1155
166	2	70	332	166	0	0	0	166	2	70	332
167	4	74	668	167	0	0	0	167	4	74	668
168	7	81	1176	168	1	1	168	168	6	80	1008
169	6	87	1014	169	1	2	169	169	5	85	845
170	14	101	2380	170	3	5	510	170	11	96	1870
171	1	102	171	171	0	5	0	171	1	97	171
172	4	106	688	172	3	8	516	172	1	98	172
173	1	107	173	173	0	8	0	173	1	99	173
174	1	108	174	174	1	9	174	174	0	99	0
175	4	112	700	175	1	10	175	175	3	102	525
176	1	113	176	176	0	10	0	176	1	103	176
177	1	114	177	177	1	11	177	177	0	103	0
178	3	117	534	178	3	14	534	178	0	103	0
179	4	121	716	179	3	17	537	179	1	104	179
180	12	133	2160	180	12	29	2160	180	0	104	0
181	1	134	181	181	1	30	181	181	0	104	0
182	7	141	1274	182	6	36	1092	182	1	105	182
183	3	144	549	183	3	39	549	183	0	105	0
184	3	147	552	184	2	41	368	184	1	106	184
185	4	151	740	185	4	45	740	185	0	106	0
186	1	152	186	186	1	46	186	186	0	106	0
187	3	155	561	187	3	49	561	187	0	106	0
188	1	156	188	188	1	50	188	188	0	106	0
189	1	157	189	189	1	51	189	189	0	106	0
190	3	160	570	190	3	54	570	190	0	106	0
206	1	161	206	206	1	55	206	206	0	106	0
	161	total	27369		55	total	9950		106	total	17419
div/2=	80,5	moyenne	170,0	div/2=	27,5	moyenne	180,9	div/2=	53	moyenne	164,3
	1	151			1	168			1	151
	40	162			13	178			26	160
	41	162			14	178			27	160
					15	179			28	160
	80	168
Méd.	81	168			27	180			53	163
	82	169			28	180			54	163
					29	180
	121	179							79	168
	122	180			41	184			80	168
					42	185			81	169
	161	206			43	185
									106	184
					55	206

Récapitulatif :

	Ensemble	Masculin	Féminin
Premier quartile	162	178	160
Médiane	168	180	163
3e quartile	179,5	185	168
EIQ	17,5	7	8
EIQ x 1,5	26,25	10,5	12
Valeur frontière inf. théorique	135,75	167,5	148
Valeur inférieure observée	151	168	151
Hors normes	non	non	non
Valeur frontière sup. théorique	205,75	195,5	180
Valeur supérieure observée	206	206	184
Hors normes	oui	oui	oui
Moyenne	170,0	180,9	164,3

On voit immédiatement que la largeur de la boite d'ensemble vient du mélange des deux sexes ou l'écart inter quartiles est beaucoup plus faible et du même ordre.

Le fait que la moyenne se trouve à droite de la médiane indique une plus grande dispersion dans les grandes tailles pour les deux sexes, ce que confirment dans les deux cas les dépassements de la valeur frontière supérieure.

Autre exemple : les notes obtenues en février 2005 par les étudiants de fin de premier semestre de techniques quantitatives de la première année de la licence de sociologie. Il y a deux populations : ceux pour lesquels la filière est la sociologie, ceux pour qui c'est l'économie et la gestion. On a les résultats suivants :

Notes	Etudiants de sociologie			Etudiants d'économie et gestion
	Répartition	Cumul	calcul	Répartition	Cumul	calcul
1	7	7	7
2	1	8	2
3	3	11	9
4	2	13	8	1	1	4
5	5	18	25	2	3	10
6	3	21	18	2	5	12
7	5	26	35	2	7	14
8	4	30	32	2	9	16
9	9	39	81	2	11	18
10	3	42	30	6	17	60
11	9	51	99	7	24	77
12	7	58	84	7	31	84
13	10	68	130	0	31	0
14	2	70	28	5	36	70
15	7	77	105	0	36	0
16	3	80	48	6	42	96
17	7	87	119	5	47	85
18	10	97	180	5	52	90
19			0	1	53	19
Total	97		1040	53		655
		Moyenne		26,5	Moyenne	12,36
Total/2	48,5		10,72
	1	1		1	4
	24	7		13	10
	25	7		14	10
	48	11		26	12
	49	11		27	12
	50	11		28	12
	73	15		40	16
	74	15		41	16
	97	18		53	19
		Socio	Eco-gest
Premier quartile		7	10
Médiane		11	12
3e quartile		15	16
EIQ		8	6
EIQ x 1,5		12	9
Valeur frontière inf. théorique		-5	1
Valeur inférieure observée		1	4
Hors normes		non	non
Valeur frontière sup. théorique		27	25
Valeur supérieure observée		18	19
Hors normes		non	non
Moyenne		10,7	12,36

On voit sur cet exemple que les notes des étudiants de la filière sociologie sont moins bonnes que celles de la filière économie et gestion, que les notes des sociologues sont plus réparties à gauche tandis que les autres sont plus réparties à droite. On vérifie sur cet exemple que les dispositions vis-à-vis des mathématiques en général ne sont pas les mêmes suivant la filière.

Exercice

On trouvera ci-dessous les 50 villes et agglomérations urbaines les plus importantes du 18^e au 20^e siècle, en milliers. Sources : Atlas de la Révolution française et Insee.

Calculer les composantes de la boite à moustaches, représenter séparément les données des 18^e et 19^e siècle d'une part, du 20^e d'autre part. Les points concernant les villes les plus peuplées ne peuvent être représentés à l'échelle.

Questions d'interprétation : à quoi correspond une "ville moyenne", comparer médiane et moyenne. D'un point de vue historique regarder les constances et les variations, l'effet de la révolution industrielle.

	Vers1750		En 1836		En 1968		En 1999
1	Paris	576	Paris	909	Paris	8196	Paris	9644
2	Lyon	114	Lyon	151	Lyon	1074	Marseille	1349
3	Marseille	68	Marseille	146	Marseille	964	Lyon	1348
4	Bordeaux	67	Bordeaux	99	Lille	881	Lille	1000
5	Rouen	67	Rouen	92	Bordeaux	555	Nice	888
6	Lille	63	Toulouse	77	Toulouse	439	Toulouse	761
7	Nantes	57	Nantes	76	Nantes	393	Bordeaux	753
8	Toulouse	45	Lille	72	Nice	392	Nantes	544
9	Strasbourg	40	Strasbourg	58	Rouen	369	Toulon	519
10	Orléans	37	Amiens	46	Toulon	340	Douai	518
11	Caen	35	Metz	43	Strasbourg	334	Strasbourg	427
12	Montpellier	35	Nimes	43	Grenoble	332	Grenoble	419
13	Amiens	33	Caen	42	Saint-Etienne	331	Rouen	389
14	Nimes	30	Saint-Etienne	42	Lens	325	Valenciennes	357
15	Reims	30	Orléans	40	Nancy	257	Nancy	331
16	Rennes	30	Reims	38	Le Havre	247	Metz	322
17	Versailles	29	Angers	36	Valenciennes	223	Tours	297
18	Metz	26	Montpellier	36	GrCaAntibes	213	Saint-Etienne	291
19	Toulon	26	Rennes	36	Douai	205	Montpellier	287
20	Aix	25	Toulon	35	Clermont-F	204	Rennes	272
21	Bourges	25	Avignon	32	Tours	201	Orléans	263
22	Clermont-F	24	Clermont-F	32	Mulhouse	199	Bethune	259
23	Grenoble	24	Nancy	31	Rennes	192	Clermont-F	258
24	Angers	23	Besançon	30	Dijon	183	Le Havre	258
25	Arles	23	Brest	30	Montpellier	171	Avignon	253
26	Avignon	22	Limoges	30	Brest	169	Dijon	236
27	Dijon	22	Grenoble	29	Orléans	167	Mulhouse	234
28	Nancy	22	Versailles	29	Reims	167	Angers	226
29	Tours	22	Tours	27	Le Mans	166	Reims	215
30	Besançon	21	Boulogne	26	Metz	166	Brest	210
31	Douai	21	Le Havre	26	Angers	163	Caen	199
32	Brest	20	Troyes	26	Caen	152	Le Mans	194
33	Dieppe	18	Aix	25	Limoges	148	Dunkerque	191
34	Limoges	18	Bourges	25	Bethune	144	Pau	181
35	Poitiers	18	Dijon	25	Dunkerque	143	Bayonne	178
36	Troyes	18	Dunkerque	24	Avignon	139	Limoges	173
37	Arras	17	Montauban	24	Amiens	136	Perpignan	162
38	Saint-Omer	17	Arras	23	Thionville	136	Amiens	160
39	La Rochelle	16	Le Mans	23	Hagondange	134	Nimes	148
40	Le Mans	16	Poitiers	22	Bruay en A.	126	Annecy	136
41	Montauban	16	Saint-Quentin	21	Denain	126	Saint-Nazaire	136
42	Valenciennes	16	Arles	20	Nimes	124	Besançon	134
43	Abbeville	15	Roubaix	20	Besançon	116	Thionville	130
44	Chalons	15	Saint-Malo	20	Montbeliard	114	Troyes	128
45	Dunkerque	15	Tourcoing	20	Troyes	114	Poitiers	119
46	Saint-Malo	15	Valenciennes	20	Bayonne	110	Valence	117
47	Le Havre	14	Cherbourg	19	Pau	110	La Rochelle	116
48	Béziers	13	Douai	19	Saint-Nazaire	110	Lorient	116
49	Alençon	12	Saint-Omer	19	Perpignan	106	Chambéry	113
50	Beauvais	12	Abbeville	18	Lorient	98	Montbeliard	113
	Somme	1983		2852		20604		26072
	Moyenne	39,7		57,0		412,1		521,4

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Chapitre 2 : écart-type

Avec la médiane nous avons un repère de la valeur centrale d'une distribution, avec la position des quartiles et leur écart, nous avons un indice de la manière dont les valeurs se répartissent autour de cette valeur centrale. Nous allons maintenant reprendre ces mêmes problèmes avec d'autres indicateurs non centrés sur la position dans la distribution comme la médiane mais sur l'écart à la moyenne.

La moyenne est bien connue et est un repère de valeur centrale largement utilisé. Prenons par exemple 5 notes et calculons leur moyenne :

Individu	Note
1	13
2	12
3	11
4	8
5	6
Somme	50
Moyenne	10

Le calcul est habituel et consiste à diviser la somme des notes par le nombre d'individus.

Examinons maintenant l'écart que chaque individu a avec la moyenne :

Individu	Note	Ecart
1	13	+3
2	12	+2
3	11	+1
4	8	-2
5	6	-4
Somme	50	0
Moyenne	10

Les écarts se répartissent autour de la moyenne et leur somme algébrique est nulle. Un premier repère de la dispersion est le plus fort écart en valeur absolue, celui de l'individu 5 à -4, ce critère de l'écart maximum donne déjà une information.

Pour calculer un écart "moyen", une première solution consiste à prendre la valeur absolue des écarts et à en faire la moyenne :

Individu	Note	Ecart	Valeur absolue des écarts
1	13	+3	3
2	12	+2	2
3	11	+1	1
4	8	-2	2
5	6	-4	4
Somme	50	0	12
Moyenne	10		2,4

La moyenne des valeurs absolue des écarts est de 2,4 : l'unité est la même que pour chaque note ou la moyenne. Cet indicateur a un défaut, il ne met pas en valeur les notes extrèmes. Un écart de 1 au centre apporte autant à l'écart moyen qu'un point entre 3 et 4 alors que l'on souhaite avoir, ce que nous apportait l'écart maximum, une information sur les cas extrêmes.

Pour donner plus d'importance aux écarts extrêmes, on utilise la stratégie qui consiste à élever au carré les écarts bruts (positifs ou négatifs). On a alors :

Individu	Note	Ecart	Ecarts au carré
1	13	+3	9
2	12	+2	4
3	11	+1	1
4	8	-2	4
5	6	-4	16
Somme	50	0	34
Moyenne	10		6,8

On voit ainsi que l'écart maximum contribue pour 16/34 soit presque la moitié au total des écarts (alors que dans le cas de la somme des valeurs absolue, il ne contribuait que pour 4/12 soit pour un tiers). Donc la somme, et la moyenne qui est en est issue répond bien à notre objectif de mettre en relief les écarts extrêmes. Mais quelle est l'unité de cette moyenne qui est la moyenne d'une somme de carré.

Elle porte le nom de Variance et, étant la moyenne d'une somme de carré est exploitée en en calculant la racine carrée qui nous permet de revenir à l'unité de base exprimant une note, le point.

La racine carrée de 6,8 est de 2,6, écart de note appelé écart-type. Cette valeur est un peu plus forte que la moyenne des écarts absolus, mais du même ordre de grandeur. L'écart type est de 2,6 points autour de la moyenne. On voit dans le cas présent que si l'on se sert de cet écart-type pour déterminer une fourchette de variation autour de la moyenne, on a une limite supérieur à la moyenne plus un écart-type : 10 + 2,6 = 12,6 et une limite inférieure à la moyenne moins un écart-type, soit 10 – 2,6 = 7,4. Si l'on compare avec les 5 individus, on voit que seuls les individus 1 et 5 sont en dehors de la moyenne plus ou moins un écart-type (ou inversement que 3 individus sur 5 sont dans cet intervalle).

Cette situation est tout à fait générale : environ les deux tiers d'une distribution quelconque se trouve compris entre la moyenne moins un écart-type et la moyenne plus un écart-type. On peut même aller plus loin et noter dès à présent qu'environ 95% d'une distribution quelconque se trouve entre la moyenne moins deux écarts-types et la moyenne plus deux écarts-types.

De ce fait l'écart-type devient un instrument de recherche fréquemment utilisé, son défaut, mais aussi sa qualité, est qu'il est sensible aux valeurs extrêmes, ce qui fait qu'on lui préfère quelquefois l'indice dérivé de la médiane, l'écart inter-quartiles.

Propriétés

1) modifions les notes pour doubler les écarts :

Individu	Note	Ecart	Ecarts au carré
1	16	+6	36
2	14	+4	16
3	12	+2	4
4	6	-4	8
5	2	-8	64
Somme	50	0	136
Moyenne	10		27,2

La variance est passée de 6,8 à 27,2 (et à donc été multipliée par 4)

L'écart-type est passé de 2,6 à 5,2 et est donc multiplié par 2. Le facteur multiplicatif des écarts se retrouve dans l'écart-type.

2) augmentons toutes les notes d'origine de 2 points :

Individu	Note	Ecart	Ecarts au carré
1	15	+3	9
2	14	+2	4
3	13	+1	1
4	10	-2	4
5	8	-4	16
Somme	60	0	34
Moyenne	12		6,8

C'est la moyenne qui change, pas les écarts, ni la variance, ni l'écart-type

Un simple décalage des notes ne change pas la distribution autour de la moyenne.

Procédure de calcul

La définition de l'écart-type est faite à partir des carrés des écarts à la moyenne. La moyenne de ces carrés donne la variance dont la racine carrée donne l'écart-type.

Pour simplifier les calculs, résumons en une seule ligne l'ensemble des calculs à partir de chaque note et de la moyenne.

Pour chaque note du tableau d'origine, on calcule l'écart à la moyenne, on l'élève au carré.

Pour la première note on a : (13 – 10)²

Développons : le carré d'une différence est égal à la somme des carrés moins le double produit (a – b)² = a² + b² - 2ab

(13² + 10² - 2 x 13 x 10 ) : développons le produit :

13² est le carré de la note

10² est le carré de la moyenne

2 x 13 x 10 est deux fois le produit de la note par la moyenne.

La somme de tous les écarts est :

13² + 10² - 2 x 13 x 10

+ 12² + 10² - 2 x 12 x 10

+ 11² + 10² - 2 x 11 x 10

+ 8² + 10² - 2 x 8 x 10

+ 6² + 10² - 2 x 6 x 10

Total : 13²+12²+11²+8²+6² Somme des carrés

+ 10² x 5 : le carré de la moyenne multiplié par l'effectif.

- les doubles produits de la moyenne par la note soit :

2 x 10 (13 + 12 + 11 + 8 + 6) la parenthèse correspond à la somme des notes. 2 x 10 x Somme des notes.

Pour avoir la variance, il faut prendre la moyenne de la somme précédente c'est-à-dire diviser chaque élément de la somme par 5

La somme des carrés est divisé par 5, c'est ce qu'on appelle la moyenne des carrés (en abrégé MC)

10² x 5 divisé par 5 donne le carré de la moyenne (CM)

Les doubles produits divisé par 5 donnent la somme 2 x 10 x Somme des notes / 5 or somme des notes / 5 est égal à la moyenne donc les doubles produits correspondent à – 2 x 10 x 10 soit – 2 fois le carré de la moyenne.

Résumons : la variance est égale à Moyenne des carrés + Carré de la moyenne – deux fois le carré de la moyenne. Au total on a :

Variance = Moyenne des carrés – Carré de la moyenne ou en abrégé :

Variance = MC – CM

Pour effectuer les calculs sans erreur on utilise la forme d'un tableau où il sera inutile de calculer les écarts à la moyenne mais les carré des nombre, faire leur somme, leur moyenne et soustraire à la moyenne des carrés le carré de la moyenne.

Individu	Note	Note au carré
1	13	169
2	12	144
3	11	121
4	8	64
5	6	36
Somme	50	534
Moyenne	10	106,8

On ajoute ensuite une première ligne de calcul qui correspond au carré de la moyenne et on met le résultat immédiatement sous la moyenne des carrés. On ajoute une ligne supplémentaire qui donne le résultat de la soustraction Moyenne des carrés moins carré de la moyenne ici 106,8 – 100 = 6,8 qui correspond à la variance. Enfin une dernière ligne, prenant la racine carrée de la variance donne l'écart-type.

Individu	Note	Note au carré
1	13	169
2	12	144
3	11	121
4	8	64
5	6	36
Somme	50	534
Moyenne	10	106,8
CarréMoyenne		100
Variance		6,8
Ecart-type		2,6

Cette disposition standard, qui s'inspire des calculs sur un tableur évite les erreurs numériques.

Le formulaire à retenir est :

Variance = MC – CM

Ecart-type = racine carré (variance)

La variance étant toujours positive, il y a peu de risque d'erreur du fait d'une permutation fautive entre MC et CM : si l'on inverse par erreur le résultat est négatif et l'erreur apparait puisqu'on ne peut pas en prendre la racine carrée. Pour les calculs intermédiaires, il faut prendre suffisamment de chiffres significatifs.

Exemples

1) Taille des étudiants : ensemble puis par sexe.

En principe on affecte une ligne par étudiant mais pour éviter d'avoir beaucoup de lignes identiques, on ajoute une colonne qui pour une taille donnée donne le nombre d'individus qui ont cette taille (n=). Pour calculer la somme des tailles, par exemple pour la taille de l'ensemble correspondant à 155 cm, on multiplie par 6 la taille de 155. Pour le calcul du carré, on prend le carré 155²= 24025 et on multiplie par l'effectif correspondant soit 6 x 24025 = 144150. Pour la moyenne des taille et la moyenne des carrés des tailles on divise (pour l'ensemble) par l'effectif d'ensemble de 161 (somme des effectifs de la colonne n=)

Taille des étudiants ensemble puis par sexe Oct 04
Ens	n=	taille	taille²	Masc	n=	taille	taille²	Fémi	n	taille	taille²
151	1	151	22801	151	0	0	0	151	1	151	22801
152	1	152	23104	152	0	0	0	152	1	152	23104
155	6	930	144150	155	0	0	0	155	6	930	144150
157	1	157	24649	157	0	0	0	157	1	157	24649
158	4	632	99856	158	0	0	0	158	4	632	99856
159	3	477	75843	159	0	0	0	159	3	477	75843
160	15	2400	384000	160	0	0	0	160	15	2400	384000
161	3	483	77763	161	0	0	0	161	3	483	77763
162	10	1620	262440	162	0	0	0	162	10	1620	262440
163	11	1793	292259	163	0	0	0	163	11	1793	292259
164	6	984	161376	164	0	0	0	164	6	984	161376
165	7	1155	190575	165	0	0	0	165	7	1155	190575
166	2	332	55112	166	0	0	0	166	2	332	55112
167	4	668	111556	167	0	0	0	167	4	668	111556
168	7	1176	197568	168	1	168	28224	168	6	1008	169344
169	6	1014	171366	169	1	169	28561	169	5	845	142805
170	14	2380	404600	170	3	510	86700	170	11	1870	317900
171	1	171	29241	171	0	0	0	171	1	171	29241
172	4	688	118336	172	3	516	88752	172	1	172	29584
173	1	173	29929	173	0	0	0	173	1	173	29929
174	1	174	30276	174	1	174	30276	174	0	0	0
175	4	700	122500	175	1	175	30625	175	3	525	91875
176	1	176	30976	176	0	0	0	176	1	176	30976
177	1	177	31329	177	1	177	31329	177	0	0	0
178	3	534	95052	178	3	534	95052	178	0	0	0
179	4	716	128164	179	3	537	96123	179	1	179	32041
180	12	2160	388800	180	12	2160	388800	180	0	0	0
181	1	181	32761	181	1	181	32761	181	0	0	0
182	7	1274	231868	182	6	1092	198744	182	1	182	33124
183	3	549	100467	183	3	549	100467	183	0	0	0
184	3	552	101568	184	2	368	67712	184	1	184	33856
185	4	740	136900	185	4	740	136900	185	0	0	0
186	1	186	34596	186	1	186	34596	186	0	0	0
187	3	561	104907	187	3	561	104907	187	0	0	0
188	1	188	35344	188	1	188	35344	188	0	0	0
189	1	189	35721	189	1	189	35721	189	0	0	0
190	3	570	108300	190	3	570	108300	190	0	0	0
206	1	206	42436	206	1	206	42436	206	0	0	0
Total	161	27369	4668489		55	9950	1802330		106	17419	2866159
Moyenne		169,994	28996,83			180,909	32769,64			164,330	27039,24
CarréMoy			28897,89				32728,10				27004,41
Variance			98,94				41,54				34,82
ET			9,9				6,4				5,9
Ensemble				Masculin				Féminin
Méd	168	Moy	170,0	Méd	180	Moy	180,9	Méd	163	Moy	164,3
Q1	162	M-ET	160,0	Q1	178	M-ET	174,5	Q1	160	M-ET	158,4
Q3	180	M+ET	179,9	Q3	185	M+ET	187,4	Q3	168	M+ET	170,2
		Rappel 2003				Rappel 2003				Rappel 2003
		Total	94			Total	33			Total	61
		Moy	170,8			Moy	180,8			Moy	165,3
		ET	9,3			ET	6			ET	5,6

On a mis un rappel de la médiane et des quartiles calculés au chapitre précédent et l'on voit que ces différents indicateurs donnent des résultats comparables. On vérifiera que dans l'intervalle 160 cm 180 cm qui correspond en arrondissant à la moyenne plus ou moins un écart-type, on a plus des 2/3 de la population. A plus ou moins deux écarts-types on a pratiquement toute la population.

2) Durée de grossesse

On sait que la durée de la grossesse est de 9 mois soit, du fait des longueurs inégales des mois de 273 à 275 jours. En prenant la littérature spécialisée (par exemple E. Papiernik, "La durée de la grossesse" dans E. Papiernik, D. Cabrol et J.-Cl. Pons, Obstétrique, Flammarion, 1995), on s'aperçoit que cette durée est assez difficile à observer car un écart de 10 jours existe entre les dernière règles et la fécondation et que la date des dernière règles est souvent imprécise. De même les cas de prématurités faussent les résultats mais les test fait à l'occasion d'une échographie (en mesurant la largeur du crâne) permettent de lever beaucoup d'hésitation.

Il ressort de l'article de Papiernik que la taille des femmes a une influence sur la durée de la grossesse : aux grandes tailles correspondent des durées plus grandes, de même l'âge de la mère a une influence : "l'effet de l'âge se marque aux extrémités de la distribution des durées de grossesse, avec une augmentation progressive de la prématurité et une diminution des grossesses à terme dépassé" (p.168).

L'auteur a comparé les durées de grossesse de femmes nées en Martinique et accouchant à Fort-de-France avec des femmes accouchant en région parisienne et nées en France européenne, dans les Antilles ou en Afrique sub-saharienne. "Il existe une différence nette et statistiquement significative de trois jours de durée de grossesse entre les femmes nées en Martinique et celle nées en Europe. La durée de grossesse des femmens nées aux Antilles et accouchant à Paris est égale à la durée de grossesse observée en Martinique" (p.170). L'effet de catégorie sociale n'apporte pas de modifications.

Le graphique ci-joint permet de se rendre compte visuellement que les durées de grossesse se situent entre 37 semaines (soit 37 x 7 = 259 jours) et 42 semaines (=294 jours). La moyenne pour les européennes est de 277 jours avec un écart-type de 10 jours, ce qui signifie que les deux tiers des grossesses durent entre 267 et 287 jours. Pour les Africaines la durée est de 273 jours plus ou moins un écart- type de 9,5 jours et pour les martiniquaises ou guadeloupéennes de 274 jours plus ou moins 9,2 jours. Du fait d'un écart-type proche de 10 jours, seule une analyse fine permet de différencier les durées moyennes de grossesses différentes.

Cet exemple permet de donner de l'épaisseur au concept d'écart-type : indépendamment de sa définition, il est à envisager comme l'écart qui de part et d'autre de la moyenne regroupe environ les deux-tiers de la population. C'est donc un écart assez habituel qui correspond à un graphique dit "en cloche" ou une dispersion non négligeable se fait autour de la moyenne. Avec un écart-type de 10 jours pour la durée de grossesse, l'exceptionnel (- de 5% de la population) arrive au-delà de deux écarts-types, soit 3 semaines.

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